venerdì 10 gennaio 2014

Condensatore e Induttore: concentratori di energia!

Come è noto un circuito elettrico è il luogo fisico dove si manifestano fenomeni di natura elettromagnetica; in particolare "un circuito elettrico è l'interconnessione di elementi elettrici in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (vedi Wikipedia).
Nota: ricordiamo che la corrente I(t) è definita come la quantità di carica dQ che attraversa la sezione di un conduttore nel tempo dt: I(t)=dQ(t)/dt.

Si osservi inoltre che un circuito elettrico "soddisfa con buona approssimazione il modello a parametri concentrati, secondo il quale è possibile assumere che tutti i fenomeni avvengono esclusivamente all'interno dei componenti elettronici e delle interconnessioni tra questi"*.

Vogliamo ora introdurre due noti componenti elettronici che, dal punto di vista matematico, possono essere definiti attraverso le relazioni che legano la tensione elettrica V(t) (misurata ai capi dei dispositivi) alla corrente I(t) (che circola in essi) e che, come vedremo di seguito, evidenziano una certa simmetria.

Si ha infatti per il dispositivo elettronico denominato condensatore:
I(t)=CdV(t)/dt
mentre per il dispositivo detto induttore risulta:
V(t)=LdI(t)/dt
dove C rappresenta la capacità mentre L definisce l'induttanza del componente (come descriveremo di seguito).

Analizziamo quindi queste due relazioni dal punto di vista del significato fisico descrivendo in che modo sono state ricavate; inoltre per semplicità supponiamo che i valori di I(t) e V(t) siano due funzioni derivabili del tempo e trascuriamo andamenti transitori.

Partiamo dalla prima relazione dove V(t) indica la tensione elettrica** (variabile) applicata alle due piastre del condensatore, che sono separate da un isolante, e su cui si accumula la carica elettrica (per i dettagli vedi Wikipedia); il campo elettrico all'interno del condensatore si forma proprio quando viene applicata una tensione V(t) in modo da separare le cariche elettriche presenti sulle piastre conduttrici (e che si mantiene costante grazie all'isolante posto tra esse fino alla scarica del condensatore).
Nota: all'esterno del condensatore il campo elettrico è praticamente nullo dato che le cariche presenti sulle due piastre ravvicinate sono uguali ed opposte.

Possiamo definire la capacità C del condensatore come il rapporto tra la carica Q(t) accumulata sulle piastre e la tensione elettrica V(t) applicata:
C=Q(t)/V(t).
Nota: in pratica C misura la predisposizione all'accumulo di carica del condensatore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Perciò se riscriviamo Q(t)=CV(t) e calcoliamo la variazione della carica Q(t) rispetto al tempo otteniamo (secondo le regole di derivazione):
dQ(t)/dt=CdV(t)/dt+V(t)dC/dt
da cui, supponendo che la capacità C resti invariata (dC/dt=0) e ricordando che per definizione I(t)=dQ(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:
I(t)=CdV(t)/dt.
Nota: in realtà qui la corrente I(t) (detta di spostamento) non è dovuta ad un moto fisico di cariche tra le due piastre (che sono separate da un isolante) ma alla variazione del campo elettrico interno*** (vedi Wikipedia).

Passiamo ora alla seconda relazione relativa all'induttore, dove I(t) rappresenta la corrente elettrica (variabile) che scorre lungo un avvolgimento di materiale conduttivo (tipicamente rame), realizzato come un solenoide (vedi Wikipedia); poiché un conduttore percorso da corrente I(t) genera un campo magnetico B(t), all'interno del solenoide di sezione S avremo un flusso magnetico ΦB(t)=B(t)/S (poiché B(t) è supposto uniforme).
Nota: se il solenoide è molto lungo rispetto al diametro delle spire, il campo magnetico è uniforme e paralleo all'asse delle spire ed è in pratica nullo all'esterno.

Ora, come abbiamo visto nel post "Una Legge 'indotta': Farday&Lenz", la variazione del flusso magnetico ΦB(t) generato in un circuito chiuso come quello del solenoide, induce una forza elettromotrice V(t) nel circuito stesso:
V(t)=dΦB(t)/dt
che ricordiamo si oppone alla variazione del flusso.
Nota: consideriamo il valore positivo di V(t) poiché nel circuito essa rappresenta una forza contro-elettromotrice (perché si oppone alla variazione del flusso).

Definiamo quindi, in modo analogo al condensatore, l'induttanza L dell'induttore come il rapporto tra il flusso magnetico ΦB(t) accumulato nell'induttore e la corrente I(t) che circola in esso:
L=ΦB(t)/I(t).
Nota: L misura la predisposizione all'accumulo di flusso ΦB(t) nell'induttore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Quindi se riscriviamo ΦB(t)=LI(t) e calcoliamo la variazione del flusso ΦB(t) rispetto al tempo ricaviamo:
dΦB(t)/dt=LdI(t)/dt+I(t)dL/dt
da cui, supponendo che l'induttanza L resti invariata (dL/dt=0) e ricordando che V(t)=dΦB(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:
V(t)=LdI(t)/dt.
Nota: si ricordi che V(t) non rappresenta una differenza di potenziale ma una forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) indotta dalla variazione di corrente.

Possiamo infine calcolare l'energia immagazzinata dai due dispositivi.
Iniziamo col definire la potenza elettrica dei due componenti (vedi Wikipedia):
"In elettrotecnica la Potenza P(t) è il lavoro elettrico W(t) svolto su una carica elettrica da un campo elettrico nell'unità di tempo" cioè:
P(t)=dW(t)/dt=V(t)dQ(t)/dt=V(t)I(t).
Nota: per definizione di f.e.m. il lavoro elettrico elementare fatto su una carica infinitesima dQ è pari a dW(t)=V(t)dQ(t) (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").

Perciò utilizzando le relazioni prima ricavate, nel caso del condensatore otteniamo il lavoro elementare nell'unità di tempo (essendo I(t)=dQ(t)/dt):
dWC(t)/dt=V(t)I(t)=V(t)dQ(t)/dt
da cui segue (essendo C=Q(t)/V(t)):
dWC(t)=(Q(t)/C)dQ(t)
ed integrando rispetto alla carica Q(t) che si accumula sulle piastre si ricava:
WC(t)=(1/2)Q(t)2/C=(1/2)CV(t)2
che quindi dipende da C e dalla tensione elettrica al quadrato V(t)2 applicata alle piastre del condensatore.

Mentre per quanto riguarda l'induttore avremo per il lavoro infinitesimo nell'unità di tempo (essendo V(t)=dΦB(t)/dt):
dWL(t)/dt=V(t)I(t)=I(t)dΦB(t)/dt
da cui si ricava (essendo L=ΦB(t)/I(t)):
dWL(t)=(ΦB(t)/L)dΦB(t)
ed integrando rispetto al flusso ΦB(t) che si accumula nell'induttore segue:
WL(t)=(1/2)ΦB(t)2/L=(1/2)LI(t)2
che perciò dipende da L e dalla corrente al quadrato I(t)2 che circola nell'induttore.

In definitiva possiamo affermare che i due dispositivi elettronici che abbiamo esaminato, quando vengono posti all'interno di un circuito elettrico ideale (che è appunto un modello a parametri concentrati), si comportano come due veri e propri concentratori di energia (elettrica e magnetica rispettivamente).
Nota: abbiamo considerato due dispositivi puri (capacitivi induttivi ma non ibridi) e che non presentano dispersioni o inerzia al caricamento (cioè ideali e con resistenza nulla).

(*) In particolare risulta che "un sistema elettromagnetico costituito da dispositivi che soddisfino ragionevolmente l'ipotesi dei parametri concentrati può essere studiato trascurando la geometria del circuito [...] sostituendo le equazioni di Maxwell con le più semplici leggi di Kirchhoff" (vedi Wikipedia).
(Per approfondire vedi anche il post "Le 2 leggi di Kirchhoff")
(**) Per chiarire i concetti di forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) e potenziale elettrico (o differenza di potenziale poiché dipende solo dai punti del campo considerato) vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico".
(***) In particolare la corrente di spostamento è data dall'integrale della variazione del campo elettrico E(t) che attraversa la superficie S tra le due piastre: i_{s}=\varepsilon_o \int_S \frac {\partial \mathbf E(t)}{\partial t} \cdot d \mathbf S.

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