lunedì 23 settembre 2013

La Carica di prova e il Potenziale elettrico

Come è noto una carica di prova, che chiameremo q, posta in un campo elettrico E è considerata tale se è "sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo" (vedi Wikipedia).

In effetti, come avevamo già visto nel post "Elettro e Magnetismo", possiamo così definire il campo elettrico stazionario:
"Il campo elettrico E(r) in un punto r è definito come il rapporto tra la forza elettrica F(r) generata dal campo su un oggetto carico e la carica q dell'oggetto stesso:
E(r)=limq-->0 F(r)/q ".
La carica di prova q viene fatta tendere a zero proprio per non perturbare il campo elettrico mentre il rapporto F(r)/q resta costante.
Nota: ad esempio la forza generata da una carica Q su una carica di prova q è F(r)=kQq/r2 dove k è la costante di Coulomb ed r la distanza tra le due cariche; perciò risulta E(r)=kQ/r2 che è indipendente dalla carica q (vedi anche Wikipedia).

Passiamo ora alla definizione di potenziale elettrico V(r) che, proprio grazie alla carica di prova q, si riconduce a quella di energia potenziale elettrica Ue(r); quest'ultima è infatti così definita (vedi Wikipedia):
"L'energia potenziale elettrica Ue(r) posseduta da una carica elettrica puntiforme q nella posizione r in presenza di un campo elettrico E(r) è pari all'opposto del lavoro W(r) (cioè al lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F(r)=qE(r) per portare q da una posizione di riferimento r0, in cui la carica ha un'energia nota, alla posizione r); più semplicemente in formule:
U_e(\mathbf r) = -W_{\mathbf r_{0} \to \mathbf r } = -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf r} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = q V(\mathbf r)
dove V(r) è, per definizione, il potenziale elettrico in r (o meglio la differenza di potenziale rispetto ad r0) e ds è lo spostamento infinitesimo della carica"*.
Nota: per la definizione di energia potenziale vedi anche il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa".

Quindi in definitiva il potenziale elettrico V(r) in un punto r del campo è definito come il rapporto tra l'energia potenziale elettrica Ue(r) e la carica di prova q:
V(r)=Ue(r)/q
ed è, come il campo elettrico, anch'esso indipendente dalla carica di prova q.
Nota: si veda Wikipedia per il calcolo esteso del potenziale elettrico nel caso di una o più cariche elettriche.

Tuttavia si deve osservare che nell'integrazione del lavoro infinitesimo dW=Fds abbiamo implicitamente supposto che dW sia un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!") e quindi che l'integrale dipenda solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso (ricordiamo che ciò significa che lungo una linea chiusa l'integrale di dW è nullo).
Nota: quando ciò accade si dice che il campo di forze è conservativo (vedi anche il post "Campo conservativo=>irrotazionale!").

Se viceversa l'integrazione di Fds dipende dal tipo di percorso e non solo dagli estremi indicati (cioè il campo di forze non è conservativo), allora il lavoro W generato lungo una linea chiusa non è nullo (e quindi dW non è un differenziale esatto).
Ovviamente anche in questo caso possiamo definire (come già fatto nel post "La Forza-elettro-motrice") la quantità:
V=W/q 
dove W è ancora il lavoro compiuto sulla carica di prova, ma non è più definibile una funzione W(r) che dipenda esclusivamente dalla posizione r della carica (e quindi nemmeno l'energia potenziale sarà definibile come Ue(r)=-W(r)).
Nota: quando il differenziale del lavoro non è esatto lo indichiamo come δW=Fds (invece di dW); ad esempio nel post "Il Lavoro di Volume" abbiamo definito δW=-pdV che infatti non è un differenziale esatto.

In questi casi V non è più chiamato potenziale elettrico (proprio per indicare che una funzione potenziale non è definibile) ma indica, più in generale, la cosiddetta forza elettromotrice o in breve f.e.m.**.

Ciò accade, ad esempio, nel caso particolare della forza elettromotrice indotta lungo un circuito chiuso, poiché essa è dovuta al fenomeno fisico dell'induzione elettromagnetica e non ad una differenza di potenziale.

Infatti, come abbiamo già visto nel post "Una Legge 'indotta': Faraday&Lenz", ricordiamo che (vedi Wikipedia):
"La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice V indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico B è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico ΦB del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo: 
V=-dΦB/dt".
Quindi in questo caso V non dipende solo dal punto del campo in cui viene calcolato il flusso magnetico ΦB ma anche dalla variazione del flusso in quel punto rispetto al tempo***.

(*) Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia potenziale, è che in questo modo ad un lavoro negativo corrisponde una riduzione ∆V=-W del potenziale della carica.
(**) Con f.e.m. si intende anche la tensione elettrica E fra due punti di un circuito aperto come quella ai capi di un generatore elettrico sconnesso dal circuito (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").
(***) Oltre al simbolo V, detto anche tensione elettrica, si indica più correttamente la forza-elettro-motrice con l'acronimo f.e.m. (oppure con il simbolo E); il simbolo V indica più frequentemente il potenziale elettrico o la differenza di potenziale (vedi sopra).

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