mercoledì 3 aprile 2013

La composizione del moto!

È proprio vero che, come si legge su Wikipedia: "la più importante conseguenza delle trasformazioni galileiane è la composizione della velocità" (vedi Wikipedia).

Per chiarire questa affermazione e il suo significato fisico cominciamo col ricordare che "in fisica, una trasformazione galileiana è un insieme di leggi che descrivono il legame tra le coordinate di un oggetto in due sistemi di riferimento cartesiani diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro, nell'ipotesi che le velocità in gioco siano molto inferiori alla velocità della luce" (vedi Wikipedia).

È infatti noto che per indicare le posizioni e le velocità di un oggetto rispetto a due diversi sistemi di riferimento si può usare il formalismo dei vettori (essendo posizione e velocità in ambito classico delle grandezze vettoriali).

Se ad esempio abbiamo due osservatori O1 e O2 in moto relativo uniforme (che per ipotesi coincidono con l'origine di due sistemi inerziali*), che misurano la posizione di un oggetto P in tempi successivi, possiamo scrivere (utilizzando la somma vettoriale):
P1(t)=P1-2(t)+P2(t)
dove P1(t) indica la posizione dell'oggetto in moto P e P1-2(t) è la posizione dell'osservatore in moto O2 (entrambi visti da O1) mentre P2(t) indica l'oggetto P visto da O2 come indicato in figura:

Trasformazione galileiana posizione.png
Nota: P è detto vettore di posizione: vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

A questo punto è facile ottenere, per derivazione, la relazione vettoriale tra le diverse velocità**:
v1(t)=dP1(t)/dt=v1-2(t)+v2(t)
ed inoltre, considerando che i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme (cioè v1-2(t)=costante), risulterà:
a1(t)=dv1(t)/dt=d[v1-2(t)+v2(t)]/dt=a2(t)
cioè l'oggetto P ha la stessa accelerazione rispetto ad entrambi i riferimenti*** (essendo dv1-2(t)/dt=0).
Nota: si osservi che le trasformazioni galileane (cioè le coordinate cartesiane dell'oggetto P rispetto a O1 oppure O2) sono implicite nella relazione vettoriale esposta sopra: P1(t)=P1-2(t)+P2(t).

Possiamo verificare sperimentalmente che le relazioni ottenute sono vere e che perciò la composizione vettoriale dei moti ha un effettivo significato fisico (almeno per v<<c). Ma ciò significa anche che, stabilito il carattere vettoriale del moto, possiamo trattare lo spostamento di un corpo considerando la sua scomposizione lungo i relativi assi cartesiani (come si fa appunto con i vettori).

Facciamo subito un esempio. È noto che un corpo cade per effetto gravitazionale in assenza della resistenza dell'aria (lungo l'asse verticale Y) con una velocità:
vy(t)=gt 
dove g è l'accelerazione gravitazionale, costante in prossimità del suolo.
Integrando possiamo ottenere il suo spostamento lungo Y ad ogni istante, partendo da un punto fissato y(0)=0: 
y(t)=(1/2)gt2.
Ora se il corpo P oltre a cadere lungo Y, viene anche sparato lungo l'asse orizzontale X ad una velocità vx costante con uno spostamento:
x(t)=vxt
possiamo comporre il moto di y(t) e x(t) lungo gli assi X e Y ottenendo per lo spostamento P(t) del proiettile:
P(t)=ivxt+j(1/2)gt2
(dove i e j sono i versori degli assi X e Y) e quindi per la velocità v(t)=dP/dt:
v(t)=ivx+jvy(t).

In pratica ciò significa che, per ottenere la traiettoria di P (cioè per ottenere y in funzione di x), possiamo sostituire il valore di t=x/vx in y(t) prima ricavato:
y(x)=(1/2)g(x/vx)2=ax2 
che definisce il moto a parabola di un proiettile (posto a=(1/2)g(1/vx2)).
Perciò il moto parabolico di un corpo è definito, in generale, dalla somma vettoriale di due moti indipendenti: uno è quello uniforme rettilineo (lungo l'asse X) e l'altro è quello accelerato e perpendicolare (lungo l'asse Y).

È noto che quanto visto sopra per la composizione dei moti non vale più quando si devono sommare alte velocità prossime a quelle di un'onda elettromagnetica (poiché non è più possibile effettuare misure simultanee); in questo caso alle trasformazioni di Galileo (valide solo per velocità minori di quella della luce) si devono sostituire quelle di Lorentz (valide per qualsiasi velocità) e al posto dei vettori si useranno i quadrivettori dello spazio-tempo.
Nota: per una breve introduzione alla teoria della Relatività speciale vedi il post "La Relatività ristretta o... speciale!"

(*) Per chiarire il significato fisico di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale".
(**) Le trasformazioni delle velocità restano invariate anche quando il sistema di riferimento di O2 è traslatorio accelerato poiché i suoi versori (ij e k) rispetto a O1 sono comunque costanti; si ricordi infatti che in generale risulta:
dP/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).
(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono più nulle).
(***) Si osservi che con il solo uso dei vettori di posizione abbiamo in pratica ottenuto il principio di relatività galileiano: cioè le leggi della meccanica (e quindi la dinamica dei corpi) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (dato che le accelerazioni restano invariate).

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