martedì 5 marzo 2013

La Delta di Dirac

Diamo subito la definizione della famosa delta di Dirac:
"Introdotta da Paul Dirac, anche se già presente nei lavori di Oliver Heaviside, è una funzione generalizzata che dipende da un parametro reale in modo tale che sia nulla per tutti i valori del parametro ad eccezione dello zero, ed il suo integrale sul parametro tra -∞ e +∞ sia pari a 1".
(Per tutti i dettagli vedi Wikipedia).

Ed ecco il grafico della delta di Dirac (come si vede non è propriamente una funzione, infatti nel punto x=0 non è ben definita ma tende a infinito)*:

 

Come si può intuire dal grafico, la delta di Dirac "viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme o l'elettrone puntiforme" (vedi Wikipedia).
Nota: in realtà la delta di Dirac non è propriamente una funzione ma una distribuzione che generalizza il concetto di funzione (vedi Wikipedia). 

Ma passiamo ora alla parte formale della definizione:
"Formalmente la delta di Dirac δ(x) viene definita dalla seguente notazione:
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \operatorname \phi (x) \,\operatorname d x = \operatorname \phi (0)
valida per ogni funzione continua ø(x) in un intorno dello zero" (vedi Wikipedia).
Nota: pur utilizzando il simbolo dell'integrale, l'operazione non è propriamente di integrazione, ma di applicazione del funzionale δ(x) alla funzione test ø(x).

In breve la funzione impropria δ(x) gode delle due seguenti proprietà:
δ(x)=0   per   x≠0
cioè δ(x) è sempre nulla tranne che in x=0 dove assume valore infinito e inoltre:
\int_{a}^{b} \delta (t) \,\operatorname dt= \left\{\begin{matrix} 1,\, \mbox{se } a < 0 < b \\ 0, \,\mbox{se } 0 \notin [a,b] \end{matrix}\right.
cioè l'integrale di δ(x) è uguale a 1 se il punto x=0 è contenuto nell'intervallo di integrazione, altrimenti è nullo.
Nota: nell'integrale sopra compare per comodita la variabile t al posto di x ma nulla è cambiato.

Per mostrare il suo significato fisico vediamo una semplice applicazione; consideriamo cioè una massa puntiforme.
Come sappiamo nel caso generale di una massa M distribuita in un volume V possiamo scrivere, una volta definita la sua densità ρ(x)=M(x)/V:
\int \rho(x) \,\operatorname {d} x = M
cioè integrando la densità ρ(x) su tutto il volume V si ottiene la massa M.
Tuttavia nel caso di una massa considerata puntiforme (come quella di un elettrone) non possiamo indicare la sua densità di massa come ρ(x)=M(x)/V perché per V-->0 avremmo un valore infinito (e un integrale nullo)** ma dobbiamo indicarla come Mδ(x) dove δ(x) è la delta di Dirac prima definita.

Infatti integrando Mδ(x) sul volume V avremo per la definizione della delta data sopra (poniamo ø(x)=1 e moltiplichiamo per M entrambi i membri dell'equazione che definisce la delta):
\int M \delta (x) \,\operatorname{d} x = \lim_{R \to 0} \int \rho_R (x) \,\operatorname {d} x = M
dove abbiamo indicato il passaggio al limite, di solito sottinteso, con il raggio R della particella che tende a zero (vedi Wikipedia).
Nota: in effetti si può mostrare che la delta può essere considerata proprio come il limite di alcune particolari successioni di funzioni, come ad esempio la funzione gaussiana (vedi Wikipedia).

(*) Si può immaginare una successione di funzioni che hanno picchi sempre più alti e diventano sempre più strette in x=0, mantenendo costante e pari a 1 l’area sotto la curva, con il valore della funzione che tende a zero in ogni punto, eccetto nello zero dove tende all’infinito.
(**) Si noti che l'integrale di densità di una massa puntiforme, essendo la densità infinita solo in un punto mentre è nulla nel resto dello spazio, è in realtà nullo secondo la misura di Lebesgue (vedi Wikipedia).

1 commento:

  1. quando si parla di dirac bisogna ripetere ciò che disse bohr"di tutti i fisici dirac ha l'animo più puro."

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