venerdì 7 dicembre 2012

La Contrazione relativa delle Lunghezze

In questo post vogliamo mostrare come, nella Teoria della Relatività, sia centrale il concetto di dilatazione relativa del tempo che abbiamo già trattato (vedi il post "La Dilatazione relativa del Tempo") e come in particolare la contrazione relativa delle lunghezze sia una conseguenza di tale risultato.

Ricordiamo quindi la relazione precedentemente ricavata (vedi post):
∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2
dove l'intervallo di tempo ∆t' misurato da un orologio posto in un riferimento in moto, appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t misurato con lo stesso identico orologio ma che si trova in un sistema di riferimento in quiete rispetto al fenomeno osservato.
Nota: con identico si intende che l'orologio riproduce lo stesso intervallo di tempo quando è in moto inerziale; si suppone cioè che le leggi fisiche siano le stesse in entrambi i riferimenti, come prevede la teoria della relatività.

In particolare l'intervallo ∆t misurato dall'orologio in quiete (in relazione al fenomeno osservato) è denominato tempo proprio; infatti per definizione: "il tempo proprio è il tempo misurato in un sistema di riferimento solidale con il fenomeno di cui si misura la durata" (vedi Wikipedia).
Nota: il tempo proprio può essere pensato come il tempo misurato da un unico orologio posto nello stesso punto in cui si verifica il fenomeno fisico da misurare*.

Fatte queste fondamentali premesse introduciamo un metro, che supponiamo essere rigido** (cioè la distanza tra due punti qualsiasi è costante), la cui lunghezza rispetto ad un osservatore in quiete è L; vogliamo ora determinare la sua lunghezza, misurata da un osservatore in moto parallelo all'asse su cui è posto il metro L, con velocità v rispetto al sistema in quiete col metro.

Si noti innanzitutto che l'osservatore in quiete S può misurare il passaggio dell'osservatore in moto S', dai due estremi A e B (o da due punti qualsiasi del suo righello L), con due diversi orologi*** posti rispettivamente in A e in B: quindi misura un intervallo di tempo non proprio pari a ∆t'=L/v.

Mentre l'osservatore in moto S' misura nello stesso luogo e con un unico orologio il tempo del passaggio degli estremi A e B del righello (ad esempio col suo orologio da polso) e quindi misura un tempo proprio ∆t=L'/v.
Nota: risulta perciò evidente come la situazione tra i due riferimenti S e S' non sia affatto simmetrica.

Utilizzando la relazione precedente ∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2 si ottiene, sostituendo i valori rispettivamente di ∆t'=L/v e ∆t=L'/v prima definiti:
L/v=(L'/v)/(1-v2/c2)1/2
da cui risulta immeditamente che
L'=L(1-v2/c2)1/2
cioè la lunghezza L' misurata dall'osservatore in moto risulta minore di un fattore (1-v2/c2)1/2 rispetto alla lunghezza L misurata in quiete.

Si osservi che (come abbiamo assunto nel post "La Dilatazione relativa del tempo") la misura delle lunghezze perpendicolari al moto non è soggetta a contrazioni; in questo caso infatti la situazione è del tutto simmetrica e quindi la lunghezza di un segmento perpendicolare è la stessa rispetto a due osservatori in moto relativo.
Nota: se ad esempio fissiamo lo stesso asse orizzontale X (di due riferimenti O e O' in moto relativo), quando gli assi verticali Y e Y' coincidono, un marcatore posto nel punto P di Y lascierà un segno P' su Y' e viceversa: la misura dei segmenti OP e O'P' sarà, per simmetria, la stessa.

Ecco quindi perché il significato fisico della contrazione relativa delle lunghezze è strettamente legato alla dilatazione relativa del tempo; in questo senso possiamo dire che il concetto di tempo è centrale nella teoria della relatività di Einstein.

(*) In effetti a seconda che il fenomeno temporale osservato possa (oppure no) essere definito da un unico orologio (tempo proprio), possiamo considerare il sistema di riferimento in quiete (oppure no) rispetto al fenomeno osservato.
(**) Con corpo rigido qui intendiamo un corpo che, relativamente al sistema in quiete, non è soggetto a deformazioni; come vedremo la contrazione vista dall'osservatore in moto è solo un effetto relativistico, non dovuto a forze reali che agiscono sul corpo.
(***) Si è supposto implicitamente che nella misura dell'intervallo di tempo effettuato con due orologi (tempo non proprio) questi possano essere sincronizzati; in particolare il postulato di relatività assume, per definire la simultaneità, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali.
(Per sincronizzare due orologi A e B, posti nello stesso sistema di riferimento, possiamo porre una sorgente di luce nel punto di mezzo e porre t=0 per entrambi gli orologi nell'istante in cui arriva il segnale luminoso).

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