venerdì 23 novembre 2012

Cos'è il Vettore di Posizione?

Ricordiamo che "in fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità e caratterizzato da quattro elementi:
  • modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura);
  • direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
  • verso: è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
  • punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale".
    (Vedi Wikipedia)
    Nota:
    si osservi che questa definizione è indipendente dal sistema di coordinate prescelto.
In particolare in fisica è spesso usato il vettore di posizione per individuare un punto, ad esempio una particella puntiforme nel sistema cartesiano.

Per mostrare come questo vettore sia determinante per studiare il moto di sistemi qualsiasi di particelle, prendiamo ad esempio un sistema semplice di sole due particelle, rispettivamente di massa m1 e m2 individuate dai vettori di posizione r1 e r2 applicati nell'origine O di un sistema inerziale.

Come abbiamo visto nel post "L'equazione del Razzo!" possiamo definire il centro di massa del sistema:
rcm=(m1r1+m2r2)/M
(con M=m1+m2) e quindi derivare la velocità del centro di massa:
vcm=drcm/dt=(m1v1+m2v2)/M
dove v1=dr1/dt e v2=dr2/dt sono rispettivamente le velocità delle due particelle rispetto al sistema di riferimento inerziale considerato.
Nota: per la definizione di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"

Supponiamo per semplicità che anche il centro di massa rappresenti un riferimento inerziale, cioè risulti acm=dvcm/dt=0 e quindi Fext=Macm=0 (essendo Fext la risultante di tutte le forze esterne).

Poiché abbiamo introdotto il centro di massa come riferimento, possiamo definire due vettori di posizione r'1 e r'2 applicati ad esso che indicano la posizione delle due particelle rispetto al centro di massa; facendo uso della differenza tra vettori possiamo scrivere:
r'1 =r1-rcm   e   r'2=r2-rcm
(in pratica r'1 unisce la punta dei vettori r1 e rcm, lo stesso vale per r'2).

Possiamo quindi derivare le velocità v'1 e v'2 delle due particelle rispetto al centro di massa:
v'1=dr'1/dt=v1-vcm   e   v'2=dr'2/dt=v2-vcm
che, si osservi, corrispondono correttamente alla trasformazione galileana delle velocità (essendo le velocità definite rispetto a due sistemi inerziali)*.
Sostituendo il valore di vcm prima ricavato si ottiene infine:
v'1=m2(v1-v2)/M   e   v'2=m1(v2-v1)/M.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per fare qualche interessante considerazione sul nostro sistema a due particelle.

Si calcolino ad esempio le due quantità di moto delle due particelle p'1=m1v'1 e p'2=m2v'2 rispetto al centro di massa; si ottiene per sostituzione:
p'1=m1m2(v1-v2)/M   e   p'2=m2m1(v2-v1)/M
da cui si può derivare la quantità di moto totale rispetto al centro di massa:
P=p'1+p'2=0 
che risulta correttamente nulla; infatti (come abbiamo già visto nel post "L'equazione del Razzo!") essendo P=Mvcm è evidente che per vcm=0 (poiché il sistema di riferimento è quello del centro di massa) risulti P=0.

Ora calcoliamo il momento angolare totale L (che è stato definito nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)") rispetto al sistema di riferimento inerziale (cioè rispetto al punto di origine O del sistema di riferimento):
L=r1xm1v1+r2xm2v2.

Poiché, come abbiamo prima ricavato, sono vere le seguenti relazioni per i vettori di posizione:
r1 =r'1 +rcm   e   r2=r'2 +rcm
ed inoltre per le velocità risulta:
v1=v'1 +vcm   e   v2=v'2+vcm
sostituendo questi valori nell'equazione precedente si ottiene (ricordando che P=m1v'1+m2v'2=0):
L=Lcm+rcmxMvcm
dove Lcm=r'1xm1v'1+r'2xm2v'2 è il momento angolare totale rispetto al centro di massa (detto momento di spin) mentre rcmxMvcm è il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale (noto come momento orbitale del sistema).

Questo notevole risultato è valido per un sistema composto da un qualunque numero di particelle: il momento angolare totale può sempre essere definito come la somma del momento angolare, calcolato rispetto al centro di massa in moto inerziale (o traslatorio accelerato, vedi la nota*) e quello del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Per completezza ricordiamo inoltre che se al sistema sono applicate delle forze esterne**, il momento meccanico*** calcolato rispetto all'origine O è dato da (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"):
M=r1xF1+r2xF2.

Inoltre se calcoliamo il momento rispetto ad un diverso punto P otteniamo:
MP=(r1-rP)xF1+(r2-rP)xF2
essendo (r1-rP) e (r2-rP) i vettori di posizione che individuano i punti di applicazione delle forze F1 e F2 rispetto a P (indicato da rP). Perciò svolgendo i prodotti vettoriali si ottiene:
MP=M-[rPx(F1+F2)]
da cui si ricava l'importante risultato che per un corpo in equilibrio traslazionale (cioè se Fext=F1+F2=0) il momento meccanico delle foze non dipende dal punto rispetto al quale è stato calcolato, risultando: MP=M (per qualsiasi numero di particelle).

(*) Le considerazioni che seguono valgono anche per un moto traslatorio accelerato del riferimento del centro di massa, infatti le trasformazioni delle velocità restano invariate dato che i versori (ij e k) del riferimento accelerato sono costanti; si ricordi difatti che in generale risulta:
ds/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).
(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono nulle).
(**) Si ricordi che le forze interne non influiscono sul moto del sistema (cioè sul centro di massa); infatti per il principio di azione e reazione le interazioni tra due particelle qualsiasi sono uguali ed opposte e agiscono sulla stessa retta d'azione (quindi si annullano tra loro) ed è perciò nullo anche il loro momento (poiché la coppia di forze ha braccio nullo). 
(***) Come abbiamo visto nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" dal momento angolare L si può derivare il momento meccanico del sistema cioè M=dL/dt (rispetto ad un punto fissato Ω).
Inoltre, come avevamo mostrato, se il punto Ω è in moto con velocità VΩ la seconda equazione cardinale della dinamica dà: M=dL/dt+VΩxP dove P=Mvcm è la quantità di moto del sistema; perciò solo se Ω è fisso (VΩ=0) oppure se VΩ è parallelo a vcm allora M=dL/dt (essendo VΩxP=0).

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