venerdì 26 ottobre 2012

Sistemi in Equilibrio (meccanico)

Partiamo come al solito dalla definizione di Wikipedia; questa volta da quella di equilibrio meccanico:
"In fisica si dice che un sistema (un corpo puntiforme, un insieme di particelle, un corpo rigido, etc.) è in equilibrio meccanico quando la sommatoria di tutte le forze esterne e quella di tutti i momenti meccanici esterni risultano nulli".
In formule deve cioè risultare:
Fext=0
Mext=0
dove Fext e Mext rappresentano rispettivamente la risultante delle forze esterne e quella dei momenti meccanici applicati al sistema*.

In particolare si osservi che:
"La prima equazione determina l'equilibrio traslazionale del sistema, in quanto, per la seconda legge di Newton, implica che l'accelerazione del centro di massa** sia nulla. La seconda invece determina l'equilibrio rotazionale del sistema, perché implica che il momento angolare sia costante, per la seconda legge cardinale" (come vedremo di seguito).

Risulta perciò evidente come non sia sufficiente, affinché il sistema sia in equilibrio meccanico, che la forza risultante (cioè la somma vettoriale Fext di tutte le forze applicate al sistema) sia nulla; infatti il sistema potrebbe ruotare in modo accelerato, per esempio intorno al proprio centro di massa in quiete (o con velocità costante), e quindi non essere in equilibrio meccanico risultando Mext≠0.

Ma vediamo la definizione di Momento Meccanico (o momento della forza):
"Il momento meccanico, indicato con M o anche in ambito anglosassone con τ, è la tendenza di una forza a imprimere una rotazione ad un oggetto attorno ad un punto o ad un asse" (vedi Wikipedia).
Formalmente si ha che "il momento meccanico polare rispetto ad un determinato punto Ω detto polo o centro di riduzione è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (rispetto al polo stesso) e la forza: 
M=rxF
dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto al punto Ω fissato".
Nota: si può dimostrare (vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?") che se il sistema è in equilibrio traslazionale (cioè se è verificata la prima condizione di equilibrio Fext=0) allora il momento risultante è lo stesso per qualsiasi punto Ω fissato (ad esempio il centro di massa).

Inoltre essendo per definizione di forza:
F=dp/dt
dove p=mv è la quantità di moto e v è la velocità impressa alla particella di massa m, segue immediatamente per derivazione (se m è costante):
M=dl/dt
dove l=rxp è per definizione il momento angolare della particella.
La dimostrazione è immediata, infatti derivando dl/dt risulta:
d(rxmv)/dt=(dr/dt)xmv+rxmdv/dt=vxmv+rxF=M  
essendo vxmv=0 (il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo).

Questa ultima relazione rappresenta la seconda equazione cardinale del sistema (ma solo quando la velocità del polo è nulla o parallela alla quantità di moto della particella)***.
Nota: se il sistema è formato da più particelle allora il momento angolare totale L è dato dalla somma vettoriale di tutti i momenti applicati alle particelle del sistema (rispetto allo stesso punto) e ciò vale anche per il momento meccanico totale M.

Si ricordi che il moto di un sistema di particelle si può descrivere, in generale, come il moto vcm=dr/dt del centro di massa rsommato a quello rotatorio descritto dal momento angolare L del sistema rispetto al proprio centro di massa, il cui riferimento può essere inerziale o traslatorio accelerato (quindi anche circolare ma non rotatorio, vedi la nota sotto) come meglio descritto nel post "Cos'è il Vettore di Posizione?".
Nota: se il sistema di riferimento del centro di massa è rotante allora si deve considerare anche la variazione dei suoi versori (i(t), j(t)k(t)), risultando in generale: ds/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).

Perciò nel caso statico in cui la velocità di traslazione del centro di massa è nulla (vcm=0) e anche il momento angolare totale è nullo (L=0) il sistema sarà, per definizione, in equilibrio statico (essendo ovviamente soddisfatte le relazioni prima introdotte di equilibrio meccanico).

Tuttavia il sistema può anche trovarsi in uno stato di moto costante (vcm=costante) e di momento angolare totale costante (L=costante) per poter essere definito in equilibrio meccanico (poiché in questo caso forza e momento applicati al sistema sono nulli).

Consideriamo ad esempio il caso del sistema orbitante Terra-Sole in assenza di perturbazioni. In questo caso le forze esterne sono nulle e quelle interne sono forze centrali e quindi, per definizione, F è sempre parallela al raggio r (che è applicato nel centro di massa del sistema); da ciò segue M=rxF=0 cioè il sistema è in equilibrio meccanico (ed L è una costante del moto poiché M=dL/dt=0).
Nota: poiché l'equilibrio è traslazionale (cioè Fext=0), il momento M totale è nullo per qualsiasi punto Ω fissato e non solo per il centro del sistema.

Si osservi perciò come il significato fisico di sistema in equilibrio sia correlato al principio di conservazione della quantità di moto (Fext=dP/dt=0) e alla conservazione del momento angolare del sistema (Mext=dL/dt=0).
Nota: è ovvio che per un sistema isolato le condizioni di equilibrio sono sempre soddisfatte (come l'esempio prima descritto).

(*) Le forze interne non influiscono sul moto del centro di massa del sistema; infatti per la terza legge di Newton, le interazioni tra due particelle qualsiasi sono uguali ed opposte e agiscono sulla stessa retta d'azione (quindi si annullano tra loro) ed è ovviamente nullo anche il loro momento (poiché tutte le coppie di forze interne hanno braccio nullo).
(**) Ricordiamo che "il centro di massa di un sistema ha lo stesso moto di un singolo punto materiale in cui è concentrata tutta la massa, e su cui agisce la risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema" (vedi Wikipedia); ciò discende da un principio fondamentale della dinamica dei sistemi: la prima equazione cardinale (vedi il post "L'equazione del Razzo!").
(***) Per tener conto dell'eventuale moto del punto Ω (indicato da rΩ) rispetto al quale viene calcolato il momento meccanico, riscriviamo il vettore di posizione r della forza rispetto a Ω come r=r'-rΩ (dove r' indica la posizione della forza rispetto all'origine del riferimento).
Si può così generalizzare la seconda equazione cardinale (posto l=rxmv):
d(rxmv)/dt=(d(r'-rΩ)/dt)xmv+rxmdv/dt=vxmv-VΩxmv+rxF (con v=dr'/dt e VΩ=drΩ/dt) perciò M=rxF=dl/dt+VΩxp (essendo vxmv=0).

Nessun commento:

Posta un commento