lunedì 30 luglio 2012

Derivare la Massa Relativistica

Scopo di questo post è mostrare come sia possibile derivare la relazione della massa relativistica a partire da tre principi relativistici:
I) la legge di conservazione della massa relativistica (e quindi dell'energia);
II) la legge di conservazione della quantità di moto relativistica;
III) la legge di composizione relativistica delle velocità.
In questo modo apparirà chiaro perché la massa relativistica soddisfa le leggi di conservazione della massa e della quantità di moto in ambito relativistico.

Supponiamo a questo scopo di avere due corpi di uguale massa m0 (misurati in quiete) distanti tra loro; immaginiamo poi che il primo corpo sia messo in moto con velocità v in rotta di collisione con il secondo (che è in quiete) lungo l'asse X.
Ipotizziamo inoltre che l'urto sia completamente anelastico: cioè dopo l'urto i due corpi si uniscono (in un sol corpo) e viaggiano alla stessa velocità V.
Nota: per la definizione di urto anelastico vedi il post "L'urto Elastico o Anelastico".

Possiamo perciò scrivere le due seguenti relazioni, dove m0 indica la massa in quiete mentre m è la massa in moto (che chiameremo relativistica) in rotta di collisione.
Nota: si osservi che a priori non possiamo affermare che le due masse sono uguali.

La prima relazione che scriviamo è vera per la conservazione della massa (ma anche, moltiplicando entrambi i termini dell'equazione per c2, per la conservazione dell'energia) dove M indica la massa complessiva dopo l'urto:
m+m0=M.
Mentre la seconda relazione vale per la conservazione della quantità di moto, dove V è la velocità di M dopo l'urto (ricordando che m0 è in quiete):
mv=MV.
Nota: abbiamo implicitamente stabilito di scrivere la quantità di moto nella forma: p=(massa relativistica)x(velocità) ma si veda anche la penultima nota.

Da queste due relazioni si ricava subito mv=(m+m0)V da cui segue che m(v-V)=m0V e quindi si ottiene la seguente relazione tra il rapporto delle velocità e quello delle masse:
v/V=1+m0/m.

Ora chiediamoci cosa vede invece un osservatore in moto con velocità v (solidale cioè con il corpo in moto m) lungo l'asse X: in questo caso il primo corpo appare in quiete mentre è il secondo a muoversi con velocità -v verso il primo corpo.
Perciò, dopo l'urto, la massa M si muoverà con velocità -V rispetto al sistema in moto, essendo la situazione del tutto simmetrica.

Per chiarire meglio la situazione si osservi che nel caso classico, la relazione tra le due velocità V e -V è data dalla composizione galileiana delle velocità:
-V=V-v
essendo v la velocità relativa tra i due riferimenti, dalla quale si ottiene subito
v/V=2
da cui sostituendo nella equazione sopra segue la relazione classica m=m0.
Nota: vedremo invece come nel caso relativistico risulti v/V≈2 solo quando v<<c.

Utilizzando invece la relazione relativistica tra le velocità -V e V del corpo in moto M si può derivare il rapporto relativistico v/V; tale relazione è definita come è noto dalle Trasformazioni di Lorentz:
-V=(V-v)/(1-vV/ c2).
Nota: come anticipato sopra per v<<c si ottiene di nuovo la relazione classica -V=V-v.

Riscriviamo quindi l'equazione precedente (eliminando il denominatore) nella forma di una equazione di secondo grado:
(v/c2)V2-2V+v=0
la cui soluzione* è (posto ß=v/c):
V=(c2/v)[1-(1-ß2)1/2]
dove abbiamo escluso la soluzione col segno positivo poiché risulterebbe V>c.

Infine da questa soluzione ricaviamo (moltiplicandola per 1/v) la relazione
v/V=ß2/[1-(1-ß2)1/2]
e quindi, dall'equazione prima ottenuta v/V=1+m0/m deduciamo (per sostituzione e dopo alcuni passaggi algebrici) la massa relativistica:
m=m0/(1-ß2)1/2
che perciò dipende dalla velocità relativa v dei due sistemi inerziali.

Si osservi però che essendo l'energia relativistica definita, a meno di una costante, come la massa m (essendo cioè E=mc2) si preferisce identificare con il termine massa del corpo quella definita in quiete m0 (vedi Wikipedia) che in effetti è un invariante relativistico (come mostreremo di seguito).
Nota: invece di esprimere la quantità di moto nella forma classica p=mdx/dt è forse meglio scrivere p=m0dx/dτ dove m0 è la massa in quiete e τ è il tempo proprio della particella in moto con dτ=dt(1-ß2)1/2 (vedi il post "La Dilatazione relativa del Tempo").

Si elevi ora al quadrato la relazione precedente e si moltiplichino entrambi i termini per c4 da cui si ottiene (eliminando il denominatore):
m2c4-m2v2c2=m02c4 
che possiamo riscrivere nella forma nota, forse la relazione più importante della relatività:
E2-p2c2=m02c4
essendo E=mc2 l'energia relativistica**, p=mv la quantità di moto relativistica e m0 la massa in quiete della particella, che quindi risulta indipendente dal sistema di riferimento (cioè è un invariante relativistico)***.
Nota: per altre considerazioni sulla precedente relazione vedi anche il post "Massa a riposo 'nulla'!"

(*) Ricordiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado ax2+bx+c=0 è data da x=[-b±(b2-4ac)1/2]/2a; perciò nel nostro caso essendo (v/c2)V2-2V+v=0 risulta: V=(c2/v)[1±(1-ß2)1/2].
(**) L'energia totale relativistica E della particella è data, per ipotesi, dalla sua energia in quiete E0=m0c2 sommata all'energia cinetica Ec cioè E=m0c2+Ec. In questo modo dalla relazione E=mc2 si ricava subito la relazione classica (essendo 1/(1-ß2)1/2≈1+ß2/2+...):
Ec=mc2-m0c2=m0c2[1/(1-ß2)1/2-1]≈(1/2)m0v2 quando v<<c.
(***) Si noti infatti come la massa in quiete m0 sia deducibile da qualsiasi sistema di riferimento, una volta noti l'energia E e la quantità di moto p della particella in moto, senza dipendere dalla velocità relativa v.

2 commenti:

  1. Questo da te riportata e' una dimostrazione della "massa relativistica" che e' pero' non condivisa. Dovrei dire non accettata che forse e' la piu' esatta espressione ! forse ci risentiamo ciao per ora ....!

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    1. Scusa cosa intendi con "non accettata"?? C'è forse qualche passaggio della dimostrazione che non condividi?

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