mercoledì 11 aprile 2012

La Dilatazione relativa del Tempo

Come definizione generale potremmo forse affermare che "il tempo è la dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi" (vedi Wikipedia). Ma dovremmo aggiungere subito che "l'unico modo convincente di rispondere alla domanda che cos'è il tempo è forse quello operativo, dal punto di vista strettamente fisico-sperimentale: il tempo è ciò che si misura con degli strumenti adatti"*.

Ora come strumento di misura del tempo possiamo, ad esempio, utilizzare un orologio a luce (ideale)** costituito da due specchi piani e paralleli che chiameremo A e B (posti rispettivamente sul pavimento e sul soffitto del nostro laboratorio S) sui quali si riflette perpendicolarmente un raggio di luce. L'unità di misura del tempo ∆t del nostro orologio ideale sarà per definizione data dalla distanza 2AB (cioè quella di andata e ritorno del raggio)*** divisa per la velocità della luce:
∆t=2AB/c.

Ma vediamo ora come viene valutato l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio a luce (che in teoria potrebbe essere diverso da ∆t) se questo si muove orizzontalmente a velocità v lungo l'asse X (cioè perpendicolarmente alla verticale degli specchi) rispetto all'osservatore in quiete nel laboratorio S.
Nota: potremmo evitare di mettere in moto l'orologio in quiete (magari alterandolo) considerando un osservatore in moto a velocità v lungo l'asse X supponendo (secondo la teoria della relatività) che il risultato sia lo stesso.

In questo caso l'osservatore in quiete osserverà che il raggio di luce si muove da A a B e poi torna ancora in A (impiegando un tempo ∆t') mentre gli specchi si spostano di una distanza pari a v∆t' lungo X. Quindi il raggio di luce percorrerà, per due volte, l'ipotenusa (di lunghezza c∆t'/2) di un triangolo rettangolo di base v∆t'/2 e altezza AB.

Allora, se per ipotesi la velocità del raggio di luce dell'orologio in moto è sempre pari a c, risulterà per il teorema di Pitagora:
(c∆t')2=(2AB)2+(v∆t')2
ed essendo come abbiamo visto 2AB=c∆t per l'osservatore in quiete, segue
∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2.
Nota: abbiamo assunto per motivi di simmetria spazio-temporale che la distanza AB, perpendicolare al moto, sia la stessa in entrambi i riferimenti (vedi il post "La Contrazione relativa delle Lunghezze"). 

Il significato fisico del nostro esperimento è perciò che, relativamente all'osservatore in quiete, l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio in moto appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t (misurato con lo stesso identico orologio ma che si trova in quiete).
Nota: l'intervallo ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'orologio in quiete rispetto al fenomeno osservato (osservazione determinante nel post "La Contrazione relativa delle Lunghezze").

Si osservi che questo risultato è dovuto a due precise ipotesi:
1) la velocità della luce c è la stessa per entrambi gli orologi, in quiete o in moto (o meglio per entrambi gli osservatori inerziali);
2) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali (cioè questo risultato è valido per qualsiasi osservatore inerziale ed è indipendente dallo strumento che utilizziamo per misurare il tempo).
Nota: se la teoria della relatività è vera, qualsiasi orologio (posto nello stesso riferimento) deve segnare lo stesso tempo altrimenti potremmo determinare, grazie allo sfasamento temporale, il moto assoluto di quel dato riferimento.

In effetti come è noto, da queste due ipotesi possiamo derivare le Trasformazioni di Lorentz (che ci permettono di calcolare le coordinate spazio-tempo di un dato fenomeno per qualsiasi sistema di riferimento inerziale) da cui si può ricavare la relazione relativistica tra gli intervalli temporali prima ottenuta.

(*) Si osservi che "una analisi microscopica del problema mostra come la definizione di orologio sia adatta solo a una trattazione macroscopica del problema e non consenta di formulare una definizione corretta per le equazioni del moto di particelle descritte dalla meccanica quantistica" (vedi Wikipedia).
(**) Consideriamo qui un orologio ideale a moto perpetuo; in realtà ogni volta che il raggio di luce viene riflesso questo perde energia riscaldando le pareti degli specchi oppure disperdendosi nel rimbalzo (tuttavia ciò non è significativo ai fini della nostra misura del tempo).
(***) È corretto considerare un percorso di andata e ritorno poiché la stessa velocità della luce viene misurata su un percorso di andata e ritorno; proprio per evitare eventuali asincronie di orologi in quiete posti a distanza, che potrebbero compromettere la misura in un percorso di solo andata.
(Il postulato di relatività assume in modo più restrittivo, per definire il concetto di simultaneità e sincronizzare due o più orologi posti in quiete in luoghi diversi, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni).

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