martedì 3 aprile 2012

L'Equazione della Funzione d'Onda

Abbiamo già mostrato nel post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p" come si possa associare ad una qualsiasi particella la fase di un'onda periodica:
S=kx±wt
dove k=2π/L e w=2π/T (essendo L e T la lunghezza e il periodo dell'onda).
In particolare si è visto che per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni:
T=h/E     e     L=h/p
dove h è la costante di Planck.

Quindi se consideriamo una generica funzione d'onda armonica di ampiezza A e fase S=kx-wt che si propaga lungo l'asse X:
f(x,t)=Aei(kx-wt)
allora potremo per ipotesi associare* questa funzione d'onda ad una particella di energia E e quantità di moto p attraverso la relazione:
F(x,t)=Ae2πi(px-Et)/h
avendo sostituito i valori di k=2πp/h e w=2πE/h nella relazione precedente.
Nota: il significato fisico di F(x,t) verrà trattato nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

A questo punto è utile chiedersi se esiste una equazione dinamica**, che possa cioè descrivere il moto di una particella libera, di cui la funzione d'onda F(x,t) è soluzione; sarà poi possibile generalizzare tale equazione anche in presenza di campi di forze esterni allo scopo di derivare dei risultati che possano essere verificati sperimentalmente.

Vediamo quindi se è possibile una derivazione teorica dell'equazione d'onda (che ricordiamo è stata introdotta come ipotesi teorica dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926) a partire proprio dalla funzione d'onda F(x,t).

Come prima cosa si osservi che valgono queste due relazioni di derivazione parziale di F(x,t):
∂F(x,t)/∂t=-i(2πE/h)F(x,t)     e     ∂2F(x,t)/∂x2=-(2πp/h)2F(x,t)
e che inoltre vale la seguente relazione (non relativistica) per l'energia cinetica di una particella di massa m e quantità di moto p=mv:
E=(1/2)mv2=p2/2m.

Ora se moltiplichiamo per F(x,t) entrambi i membri dell'equazione precedente si ottiene:
F(x,t)E=F(x,t)(p2/2m)
da cui ricaviamo infine (sostituendo le espressioni delle derivate parziali di F(x,t) prima ricavate):
(ih/2π)∂F(x,t)/∂t=-(h/2π)2(1/2m)∂2F(x,t)/∂x2.
L'equazione così ottenuta è in effetti identica a quella proposta per la prima volta da Schrödinger per una particella libera.

Inoltre nel caso la particella sia soggetta ad un potenziale V(x,t) l'energia totale diventa Etot=p2/2m+V e l'equazione d'onda assume (con le stesse ipotesi di prima) la sua forma più generale (vedi Wikipedia):
(ih/2π)∂F(x,t)/∂t=-(h/2π)2(1/2m)∂2F(x,t)/∂x2+V(x,t)F(x,t) 
dove per semplicità abbiamo considerato la sola dimensione X.

Tuttavia è bene sottolineare, nonostante la particolare derivazione qui mostrata, che l'equazione di Schrödinger non è in realtà ottenibile da qualche principio fisico già noto in precedenza; ma è un'equazione da assumere come ipotesi a priori il cui significato fisico è pertanto quello di una ipotesi di lavoro empirica** da verificare cioè sperimentalmente, come in effetti è già stato fatto in diversi esperimenti di laboratorio (in ambito non relativistico).

(*) Se consideriamo un'onda singola, non solo la particella non è localizzata, ma la velocità di fase V=w/k è priva di significato fisico poiché in questo caso risulta: V=E/p=c2/v>c essendo w=2πE/h e k=2πp/h (vedi sopra).
Perciò ad ogni particella dobbiamo invece associare un pacchetto d'onde (sovrapponiamo cioè un infinito numero di onde a quella fondamentale F(x,t)): in questo caso possiamo definire un'onda localizzata con velocità di gruppo Vg=dw/dk che rappresenta la velocità della particella (risulta infatti Vg=dE/dp=v con E=c(m02c2+p2)1/2) (vedi Wikipedia).
D'altra parte si osservi però che, risultando Vg≠V, l'onda è dispersiva (vedi il post "Velocità di Fase e di Gruppo!") e non può rappresentare fisicamente una particella ben definita (che non cambia cioè forma mentre è in moto).
(**) La situazione è del tutto analoga a quella della seconda Legge di Newton; infatti la nota equazione dinamica F(r(t))=md2r(t)/dt2 descrive per ipotesi il moto di un corpo di massa m sottoposto ad una forza F(r(t)) la cui soluzione r(t) permette di stabilire la posizione della particella ad ogni istante (fissato lo stato inziale r(0) al tempo t=0).

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