venerdì 23 marzo 2012

L'urto Elastico o Anelastico

Per poter trattare gli urti tra due corpi dal punto di vista meccanico in un sistema isolato (che come vedremo possono essere di tipo elastico o anelastico), è necessario introdurre il principio di conservazione della quantità di moto (vedi Wikipedia).

È nota la relazione di Newton che lega la forza F che agisce su un corpo di massa m e la relativa variazione della quantità di moto p=mv che subisce il corpo:
F=dp/dt.
Sappiamo anche che questa relazione è generalizzabile ad un sistema di N punti materiali, dove F rappresenta la risultante delle forze interne Fint più quella delle forze esterne Fext che agiscono sui vari corpi e P è la quantità di moto complessiva (cioè la somma delle singole quantità di moto):
F=dP/dt=Fint+Fext.
Nota: per chiarimenti su questa relazione vedi anche il post "L'equazione del Razzo!".

Ora per un sistema isolato risulta per definizione Fext=0 ma anche per la risultante delle forze interne si ha Fint=0; infatti (come abbiamo visto nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!") un corpo che esercita una forza F12 su un altro corpo, è soggetto a sua volta ad una forza F21 uguale in modulo e direzione ma di verso opposto*. Segue perciò che:
dP/dt=0
ciò significa che la quantità di moto in un sistema isolato è costante nel tempo.

Vediamo quindi le due diverse definizioni di urto in un sistema isolato** (secondo Wikipedia):
-> Urto elastico: "In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema (cioè l'energia cinetica+potenziale), ed in particolare l'energia cinetica" (poiché di solito l'energia potenziale, come ad esempio quella gravitazionale, è trascurabile);
-> Urto anelastico: "L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, si uniscono e possono essere considerati come un unico corpo" (cioè l'energia meccanica si trasforma, almeno in parte, mentre quella totale si conserva - vedi l'esempio sotto).

Perciò in generale, per risolvere il problema cinematico di corpi che si urtano in un sistema isolato, dovremo fare le seguenti considerazioni:
-> Urto elastico: la quantità di moto si conserva (come abbiamo mostrato sopra per un sistema isolato) e anche l'energia cinetica, per definizione (trascurando quella potenziale).
Tuttavia le due leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto, utili per determinare il moto dopo l'urto, sono sufficienti solo in determinati casi***; dobbiamo spesso conoscere altri dati dell'esperimento (come per esempio l'angolo di deviazione dei corpi dopo l'urto) oppure sfruttare la simmetria del sistema per risolvere il problema.
-> Urto anelastico: anche in questo caso la quantità di moto si conserva ma non l'energia cinetica (trascuriamo quella potenziale), per definizione.
Sappiamo che l'energia totale si conserva, tuttavia è spesso difficile valutare quali sono e come si trasformano esattamente le energie in gioco; ma se l'urto è completamente anelastico (cioè se i corpi si uniscono dopo l'urto), conoscendo le condizioni iniziali e ricordando che la velocità finale è l'unica incognita (in modulo e direzione), è possibile determinare il moto del sistema dopo l'urto.

Come esempio di urto completamente anelastico, consideriamo due corpi di massa m1 e m2 che si muovono sullo stesso asse uno verso l'altro (con velocità v1 e -v2 rispettivamente); la quantità di moto come abbiamo detto si conserva:
m1v1-m2v2=(m1+m2)vcm
(dove vcm è la velocità del centro di massa dei due corpi uniti dopo l'urto); mentre la perdita di energia cinetica è data da
∆Ec=(1/2)(m1+m2)v2cm-(1/2)(m1v21+m2v22)
da cui si ottiene (ricavando il valore di vcm dalla precedente equazione):
∆Ec=-(1/2)µ(v1+v2)2
dove µ=m1m2/(m1+m2) è la cosiddetta massa ridotta del sistema.

Tale perdita di energia viene impiegata per deformare e saldare insieme i due corpi al momento dell'urto (energia potenziale elastica) con conseguente sviluppo di calore (energia termica); ma ovviamente l'energia totale, anche se si trasforma, complessivamente si conserva.

(*) Nel caso relativistico, dove l'azione a distanza non può essere considerata istantanea, il principio di azione e reazione non è più valido; tuttavia la conservazione della quantità di moto vige ancora, a patto di tenere conto della quantità di moto associata al campo che trasporta l’interazione.
(**) Consideriamo qui solo il caso classico; nel caso relativistico (trascurando l'interazione tra i corpi e quindi la quantità di moto associata al campo) la conservazione della quantità di moto è ancora valida se utilizziamo la massa relativistica: p=mv dove m=m0/(1-v2/c2)1/2; quindi anche per la conservazione dell'energia dobbiamo usare la forma relativistica: E=mc2 (vedi Wikipedia).
(A titolo di esempio si veda l'urto elastico relativistico dell'effetto Compton).
(***) È ovvio che il caso monodimensionale è il più facile da trattare; in due o tre dimensioni aumenta il numero delle incognite (poiché aumentano i gradi di libertà) e quindi le equazioni derivate dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia sono sufficienti solo in casi particolari.

2 commenti:

  1. mi trovo a dover esaminare questo sistema {m1,m2}={M}={m1,m2*}={m1,{m2,hv}}, gia' sul primo step applicando la cinematica relativistica mi ritrovo difronte a delle incongruenze di calcolo. L'urto tra le due masse e' dato come assolutamente elastico, tre le variabili da determinare, (velocita di M e due angoli), di cui una vincolata al piano di moto, quattro le relazioni da soddisfare, (1 c. energia e 3 c.quantita di moto), che non si soddisfano neanche a dirglielo in turco. La domanda e': anche nel caso relativistico il moto della massa uscente, somma delle due iniziali si svolge sulla linea del baricentro?

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  2. Si considerino per esempio due masse uguali in assetto relativistico che urtandosi in modo assolutamente anelastico diano una massa composita (m1+m2), le relazioni atte a descrivere la cinematica dell'oggetto uscente sono quelle della conservazione dell'energia e della quantita' di moto:
    m*c^2*g[1]+m*c^2*g[2] = 2*m*c^2*g[3]
    m*vx[1]*g[1]+m*vx[2]*g[2]=2*m*v[3]*g[3]*sin(b)*cos(a)
    e le altre due. L'angolo b e' determinato dalla condizione di complanarita' del vettore moto della massa uscente rispetto ai due vettori di quantita' di moto delle masse entranti. Applicando alla lettera le leggi note, si hanno quindi in pratica tre relazioni e due variabili da determinare ed il calcolo anche numerico dimostra che non vi e' alcun modo per soddisfare alle condizioni date.

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