E=mc2.
In particolare ricordiamo che "questa formula si fonda sul concetto che un corpo a riposo possiede la capacità di liberare energia trasmutando tutta la sua massa o una parte in radiazione elettromagnetica" o viceversa, come vedremo di seguito, l'energia assorbita può trasformarsi in massa (vedi Wikipedia).Vogliamo ora mostrare una "deduzione elementare dell'equivalenza di massa ed energia" così definita e proposta per la prima volta da Einstein nel 1947.
La derivazione è notevole poiché, oltre ai due principi base della relatività ristretta (equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali e costanza della velocità della luce), fa uso di sole tre leggi fisiche classiche già note in precedenza (quindi non relativistiche).
Queste leggi sono:
I) la legge di conservazione dell'impulso per sistemi isolati (piniziale=pfinale);
II) l'equazione dell'impulso prodotto da una radiazione e.m. (p=E/c);
III) l'espressione classica relativa all'aberrazione della luce (tanø=v/c).
Nota: ø è il cosiddetto angolo di aberrazione che verrà definito di seguito.
Consideriamo a tal fine due diversi sistemi di riferimento inerziali:
-> uno in quiete che indichiamo con S0;
-> l'altro in moto che chiamiamo S e che si sposta verticalmente rispetto a S0 (cioè lungo l'asse Y) a velocità non relativistica (cioè v<<c).
Ora supponiamo che un corpo di massa m si trovi in quiete nel primo riferimento S0 ed assorba due dosi di radiazione di energia E/2 e quindi impulso p=E/2c (una proveniente da destra e l'altra da sinistra in modo simmetrico e parallelo all'asse X): per ragioni di simmetria il corpo resterà in quiete, ma la sua energia interna varierà di una quantità pari a
Vediamo invece come viene descritto lo stesso fenomeno visto dal sistema di riferimento in moto S. In questo caso il corpo m si muove a velocità v lungo l'asse verticale Y quindi:
I) la legge di conservazione dell'impulso per sistemi isolati (piniziale=pfinale);
II) l'equazione dell'impulso prodotto da una radiazione e.m. (p=E/c);
III) l'espressione classica relativa all'aberrazione della luce (tanø=v/c).
Nota: ø è il cosiddetto angolo di aberrazione che verrà definito di seguito.
Consideriamo a tal fine due diversi sistemi di riferimento inerziali:
-> uno in quiete che indichiamo con S0;
-> l'altro in moto che chiamiamo S e che si sposta verticalmente rispetto a S0 (cioè lungo l'asse Y) a velocità non relativistica (cioè v<<c).
Ora supponiamo che un corpo di massa m si trovi in quiete nel primo riferimento S0 ed assorba due dosi di radiazione di energia E/2 e quindi impulso p=E/2c (una proveniente da destra e l'altra da sinistra in modo simmetrico e parallelo all'asse X): per ragioni di simmetria il corpo resterà in quiete, ma la sua energia interna varierà di una quantità pari a
E=E/2+E/2.
Vediamo invece come viene descritto lo stesso fenomeno visto dal sistema di riferimento in moto S. In questo caso il corpo m si muove a velocità v lungo l'asse verticale Y quindi:
-> la quantità di moto del corpo di massa m lungo l'asse Y è pari a
Nota: per derivare sinø basta ricordare che l'angolo di aberrazione è dato dalla relazione classica tanø=v/c che per v<<c diventa tanø≈sinø=v/c.
In definitiva rispetto al sistema in moto S avremo, per la quantità di moto complessiva lungo Y (cioè quella del corpo in moto+radiazione):
a) prima dell'assorbimento della radiazione:
b) dopo l'assorbimento della radiazione:
Perciò per la conservazione dell'impulso lungo l'asse Y (cioè ptot=p'tot) dovrà valere la relazione di equivalenza:
pm=mv
-> l'impulso della radiazione p=E/2c resta invariato (essendo v<<c) ma, a causa del moto, è inclinato di un certo angolo ø rispetto all'asse X (per il noto fenomeno di aberrazione della luce)*; risulta perciò, per la componente verticale dell'impulso lungo l'asse Y: py=psinø=(E/2c)sinø
per ogni singola dose di radiazione. Inoltre, come nel sistema in quiete, la quantità di moto lungo X non varia (sempre per motivi di simmetria).Nota: per derivare sinø basta ricordare che l'angolo di aberrazione è dato dalla relazione classica tanø=v/c che per v<<c diventa tanø≈sinø=v/c.
In definitiva rispetto al sistema in moto S avremo, per la quantità di moto complessiva lungo Y (cioè quella del corpo in moto+radiazione):
a) prima dell'assorbimento della radiazione:
ptot=mv+(E/c)sinø=mv+Ev/c2
essendo come abbiamo anticipato sopra sinø=v/c;b) dopo l'assorbimento della radiazione:
p'tot=m'v
poiché se la velocità v resta invariata (come accade nel sistema in quiete)**, dobbiamo prevedere che possa variare la massa da m a m'.Perciò per la conservazione dell'impulso lungo l'asse Y (cioè ptot=p'tot) dovrà valere la relazione di equivalenza:
mv+Ev/c2=m'v.
Nota: le componenti dell'impulso della radiazione lungo l'asse X sono uguali e contrarie, quindi si annullano tra loro anche nel sistema in moto.Ma ciò significa che (posto ∆m=m'-m ed eliminando v da tutti i membri dell'equazione):
∆m=E/c2
e quindi, senza aver fatto uso del meccanismo formale della teoria della relatività, abbiamo ottenuto la nota relazione:E=∆mc2.
(*) Consideriamo ad esempio un telescopio, puntato verso una stella posta lungo l'asse X, che si muove con il moto relativo della terra v lungo l'asse Y (in analogia alla nostra massa m). L'angolo di puntamento ø soddisferà le seguenti relazioni trigonometriche (basta disegnare un triangolo rettangolo la cui ipotenusa, con angolo ø rispetto all'asse X, è rappresentata dalla lunghezza L del telescopio - vedi l'animazione):
(**) Poiché, rispetto al sistema in quiete S0, il corpo non varia di velocità per effetto della radiazione assorbita, allora per coerenza anche nel sistema in moto S la velocità v non varia dopo l'assorbimento (varia solo la sua energia interna).
(***) In realtà il significato fisico dell'equivalenza massa-energia è molto più generale di quanto visto qui: come sappiamo anche la massa può viceversa trasformarsi in energia (ad esempio per annichilazione di una coppia particella/antiparticella); inoltre la formula vale anche per corpi in movimento (dove però la massa è quella relativistica).
Nota: questa relazione, derivata in modo approssimato per v<<c, è del tutto esatta nel caso limite di v-->0 ed è quindi vera per un corpo in quiete.
Il significato fisico di questa equivalenza, alla luce della sua derivazione, è perciò il seguente: per un corpo in quiete di massa m la variazione di energia interna (dovuta all'energia assorbita E) è direttamente proporzionale alla variazione della sua massa a riposo***.
Il significato fisico di questa equivalenza, alla luce della sua derivazione, è perciò il seguente: per un corpo in quiete di massa m la variazione di energia interna (dovuta all'energia assorbita E) è direttamente proporzionale alla variazione della sua massa a riposo***.
(*) Consideriamo ad esempio un telescopio, puntato verso una stella posta lungo l'asse X, che si muove con il moto relativo della terra v lungo l'asse Y (in analogia alla nostra massa m). L'angolo di puntamento ø soddisferà le seguenti relazioni trigonometriche (basta disegnare un triangolo rettangolo la cui ipotenusa, con angolo ø rispetto all'asse X, è rappresentata dalla lunghezza L del telescopio - vedi l'animazione):
Lsinø=v∆t e Lcosø=c∆t
dove ∆t è il tempo che impiega il raggio di luce a percorrere l'asse del telescopio; da cui segue immediatamente: tanø=sinø/cosø=v/c (cvd).(**) Poiché, rispetto al sistema in quiete S0, il corpo non varia di velocità per effetto della radiazione assorbita, allora per coerenza anche nel sistema in moto S la velocità v non varia dopo l'assorbimento (varia solo la sua energia interna).
(***) In realtà il significato fisico dell'equivalenza massa-energia è molto più generale di quanto visto qui: come sappiamo anche la massa può viceversa trasformarsi in energia (ad esempio per annichilazione di una coppia particella/antiparticella); inoltre la formula vale anche per corpi in movimento (dove però la massa è quella relativistica).
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