mercoledì 11 gennaio 2012

Indeterminazione: Principio o Teorema?

Osserviamo subito che il Principio di indeterminazione di Heisenberg (formulato nel 1927) "viene a volte spiegato, erroneamente, sostenendo che la misura della posizione disturba necessariamente il momento lineare della particella; lo stesso Werner Heisenberg diede inizialmente questa interpretazione"* (vedi Wikipedia).
Nota: come introduzione a questo post vedi anche "Il dualismo onda-particella".

In particolare questo principio afferma, indipendentemente dalla precisione o dal disturbo causato dagli apparati di misura, che è impossibile "determinare mediante osservazione contemporaneamente la posizione x e la quantità di moto p di una particella elementare".
Nota: in generale, anche se è stato formulato nel contesto subatomico, il principio vale per qualsiasi oggetto fisico, anche macroscopico.

Quindi l'indeterminazione è dovuta esclusivamente al fatto di voler misurare simultaneamente le due grandezze x e p; infatti "le singole grandezze osservabili per le cui coppie esista una relazione di indeterminazione, prese separatamente, possono essere misurate con un errore minimo e precisione assoluta" (ovviamente nei limiti della tolleranza dell'apparato di misura).
Nota: per il principio di complementarità vedi il post "Il dualismo onda-particella".

Ciò detto "il principio viene abitualmente reso con la formula
∆x∆p≥h/4π
in cui Δx è l'errore sulla posizione e Δp quello sulla quantità di moto, mentre h è la costante di Planck".
Nota: si può dimostrare che il principio vale per tutte quelle grandezze osservabili non commutative cioè quando il loro prodotto dipende dall'ordine dei fattori: in particolare per gli operatori x e p risulta xp-px=ih/2π.

Ma supponiamo ora di fare un esperimento ideale (ad esempio su di una singola particella) dove "la posizione x viene misurata in un sistema e il momento p viene misurato in una copia identica del primo sistema"; in questo caso x e p sarebbero noti contemporaneamente con precisione infinita.
Tuttavia, a riprova del fatto che il disturbo della misura non gioca nessun ruolo, il principio di indeterminazione resta valido: infatti l'indeterminazione risiede nella preparazione stessa del sistema copia al quale non possiamo assegnare sperimentalmente (e contemporaneamente) gli stessi valori di x e p che definiscono il primo sistema**.

Come sappiamo il concetto classico di traiettoria è definibile solo se conosciamo contemporaneamente posizione x e velocità v (e quindi momento p=mv) di una particella; tuttavia in meccanica quantistica possiamo solo prevedere la probabilità che in un certo istante una particella si trovi in una determinata posizione x oppure abbia una precisa quantità di moto p quindi non possiamo definire le sue condizioni iniziali con certezza (perciò non possiamo determinare la sua traiettoria)***.

Si osservi infine che è possibile derivare il principio di indeterminazione direttamente dai postulati della meccanica quantistica (vedi Wikipedia); ciò significa che tale principio è in effetti intrinseco alla meccanica quantistica non essendo cioè un suo postulato a priori ma un Teorema della teoria.

(*) A proposito del famoso esperimento ideale di Heisenberg, nel quale posizione e momento di un elettrone vengono misurati con un microscopio, si noti che l’impossibilità di misurare simultaneamente sia posizione che velocità non dipende tanto dal rinculo dell’elettrone per l’urto con il fotone (fenomeno ben descritto dall'effetto Compton), ma dalla diffrazione del fotone che passa attraverso l’obiettivo del microscopio, che introduce l'indeterminazione: infatti se diminuiamo la frequenza del fotone (in modo da non perturbare troppo l'elettrone) aumenta la sua lunghezza d'onda (e quindi la diffrazione del microscopio) che determina l'incertezza nella posizione dell'elettrone.
(**) Non possiamo nemmeno affermare che il sistema possiede per principio (anche se non misurabile) una ben definita coppia posizione e quantità di moto (ovviamente se assumiamo che la meccanica quantistica è una teoria completa senza variabili nascoste).
(***) Il princio di indeterminazione vale anche per oggetti macroscopici ma in questo caso la massa m ha un valore tale per cui, a parità di incertezza Δv sulla velocità, quella sulla quantità di moto sarà molto più alta che nel caso microscopico (essendo Δp=mΔv); quindi l'incertezza sulla posizione Δx (che è inversamente proporzionale a Δp) diventa trascurabile nel caso classico.

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