giovedì 3 marzo 2011

Energia potenziale<=>Forza conservativa

Ritorniamo sul tema dell'energia potenziale ΔU(r) (già introdotta nel post "Energia Potenziale... relativa o assoluta?") e riportiamo nuovamente la definizione:
"Si definisce energia potenziale la differenza di energia posseduta da un corpo in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta dallo stesso in una posizione di riferimento" (vedi Wikipedia).

Mostriamo ora come si esprime questa definizione in termini formali (per i dettagli vedi Wikipedia):
"In termini matematici la definizione è espressa dall'uguaglianza tra l'opposto della variazione di energia potenziale ΔU(r)=U(rB)-U(rA) ed il lavoro W compiuto dal campo di forze (per spostare il corpo da A a B):
W=-∆U(r)=-[U(rB)-U(rA)]
dove il lavoro W è dato in generale dalla relazione
W=∫cF(r)dr
dove dr indica uno spostamento infinitesimo ed F(r) la forza applicata al corpo lungo la curva C"; ma possiamo anche scrivere, in modo equivalente in forma differenziale dU(r)=F(r)dr essendo dU(r) un differenziale esatto*.
Nota: il motivo del segno meno è che in questo modo ad un lavoro positivo (cioè fatto sul sistema) corrisponde una riduzione (variazione negativa) del potenziale.

Ciò in pratica significa che una volta calcolato l'integrale del lavoro W possiamo ottenere la variazione di energia potenziale ∆U(r) dell'oggetto considerato.

Tuttavia si osservi come ∆U(r)=U(rB)-U(rAdipenda esclusivamente dai punti A e B in cui si trova il corpo (rispettivamente prima e dopo il suo spostamento) e quindi "la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto dell'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni, indipendentemente dal percorso seguito" e non dipende nemmeno da quando o da come è stato eseguito.

Ma se il lavoro è indipendente dal percorso abbiamo a che fare, per definizione, con forze conservative; l'energia potenziale è quindi definibile solamente per campi di forze di questo tipo: è per questo motivo che il significato fisico di energia potenziale e quello di forza conservativa sono così strettamente correlati.
Nota: se la forza F(r) è conservativa allora dipende esclusivamente dalla variabile r dello spazio (condizione necessaria ma non sufficiente)** e non dal tempo, dalla velocità o da altre variabili. 

Se invece le forze non sono conservative allora il lavoro è funzione del percorso e quindi l'integrale non dipende solo dai punti A (iniziale) e B (finale) in cui si trova l'oggetto, ma da cosa accade durante lo spostamento (ad esempio dispersione di energia per attrito, dissipazione o altri fenomeni non conservativi che cambiano l'energia meccanica del sistema)***.
Nota: sulle forze conservative vedi anche il post "L'Energia Meccanica si conserva?".

(*) Poiché ∆U(r) dipende solo dai punti A e B ed è indipendente dal percorso l'integrale può essere calcolato lungo una curva qualsiasi; in pratica ciò significa che dU(r)=F(r)dr è un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!").
(**)  È naturale chiedersi quando un campo di forze posizionali F(r) è conservativo: ciò accade (secondo il Lemma di Poincaré) quando il campo è irrotazionale, cioè quando rotF(r)=0 e il dominio di F(r) è stellato (vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!").
(***) Come spiegato nel post "E se le forze non sono conservative?" i fenomeni non conservativi sono tutti quelli che determinano la variazione dell'energia meccanica del sistema (cioè la sua energia cinetica+potenziale).

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