giovedì 10 marzo 2011

E se le forze non sono conservative?

Ripartiamo dalla definizione generale di Lavoro secondo Wikipedia:
"Il lavoro lungo una curva γ è definito come l'integrale di linea della forma differenziale δL=F(r)ds:
L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s
ovvero l'integrale della forza F(r) lungo la curva γ".
Nota: il lavoro elementare δL=F(r)ds compiuto dalla forza F(r) per lo spostamento infinitesimo ds non è un differenziale esatto (poiché l'integrale può dipendere dalla curva γ).

Ora come abbiamo già visto nel post intitolato "Energia potenziale<=>Forza conservativa", solo nel caso di forze conservative il lavoro è indipendente dal percorso ed è uguale, per definizione, alla differenza dell'energia potenziale con segno cambiato: 
Lcons=-ΔU.
Nota: il motivo del segno meno è che in questo modo ad un lavoro positivo (cioè fatto sul sistema) corrisponde una riduzione (variazione negativa) del potenziale.

Mentre in generale, per il Teorema dell'energia cinetica (già trattato nel post "Il Teorema della 'Vis Viva'"), il lavoro L sopra definito è uguale alla variazione di energia cinetica ΔEc impressa ad un corpo: 
L=ΔEc.

Quindi "scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro (sommabile per definizione) in due addendi:
L=Lcons+Lnc
quello derivante da forze conservative Lcons (uguale alla variazione negativa di energia potenziale -ΔU) e quello dovuto a forze non conservative Lnc abbiamo:
L=∆Ec=Lcons+Lnc=-ΔU+Lnc
e introducendo per definizione la variazione di energia meccanica si ha:
∆Emecc=∆(Ec+U)=Lnc.
Ciò significa che la variazione dell'energia meccanica (per definizione la somma di energia cinetica e potenziale) è uguale al lavoro compiuto dalle forze non conservative" (vedi Wikipedia).
 
Si osservi perciò che solo quando il lavoro dovuto a forze non conservative è nullo (cioè Lnc=0) allora segue immediatamente ΔEmecc=0 cioè l'energia meccanica si conserva; questa conclusione era già stata anticipata nel post "L'Energia Meccanica si conserva?" ma ora l'abbiamo formalizzata, in modo da attribuire a questa relazione un preciso significato fisico*.

(*) È ovvio che il principio di conservazione dell'energia resta valido anche quando l'energia meccanica non si conserva (cioè quando ΔEmecc≠0) poiché in questo caso si dovrà tener conto anche dell'energia dovuta alle forze che non sono conservative (come ad esempio il calore disperso per attrito): ∆E=∆Emecc-Lnc=0.
(Vedi anche il post "Il Principio di Conservazione dell'energia")

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