lunedì 28 febbraio 2011

Il Teorema della "Vis Viva"

Introduciamo in questo post il Teorema delle Forze Vive (o Teorema dell'energia cinetica) valido per tutte le forze, anche quelle non conservative (il cui lavoro cioè dipende dal percorso).

La derivazione del teorema parte dall'equazione fondamentale della dinamica (dove p=mv):
 F=dp/dt=mdv/dt 
valida per qualsiasi tipo di forza (con m costante) che, dopo alcuni semplici passaggi che vedremo di seguito, si conclude con il calcolo di un integrale il cui risultato è (vedi Wikipedia):
dove vA e vB indicano rispettivamente la velocità iniziale e finale di un corpo di massa m che viene spostato dal punto A al punto B da una forza F lungo un percorso qualsiasi*.
Nota: in generale la velocità finale vB, e quindi il risultato dell'integrale, può dipendere dal percorso.

La relazione integrale esposta sopra rappresenta quindi il Teorema dell'energia cinetica altrimenti detto Teorema delle forze vive; tale teorema afferma quindi che il lavoro di una forza (conservativa o meno) che agisce su una massa (o in generale il lavoro di tutte le forze agenti su un sistema) è pari alla sua variazione di energia cinetica.

Vediamo ora come promesso come si deriva la relazione prima introdotta.
Dalla definizione di velocità v=dr/dt e quella di forza F=dp/dt=mdv/dt (posto m costante) segue:
Fdr=mdv(dr/dt)=mvdv 
da cui osservando che d(mv2)/dv=2mv si ha:
Fdr=d(mv2/2).
Perciò integrando Fdr tra i punti A e B si ottiene l'integrale prima introdotto (cvd).

A questo punto definiamo, in relazione all'integrale sopra definito:
a) col termine Lavoro l'integrale della forza per lo spostamento (cioè l'integrale a sinistra dell'equazione);
e
b) col termine Energia Cinetica il semiprodotto della massa per il quadrato della velocità (cioè ciascuno dei due membri di destra in valore assoluto).

In questo modo otteniamo la formalizzazione (cioè l'espressione matematica) delle due definizioni di lavoro ed energia cinetica che recitano rispettivamente (vedi anche il post "Energia Cinetica e Lavoro"):
-> "In fisica, il lavoro L compiuto da una forza su un corpo determina la variazione di energia cinetica che il corpo subisce lungo un generico percorso" come descritto dall'integrale sopra introdotto (che ricordiamo può dipendere dal percorso se le forze non sono conservative);
oppure in modo del tutto equivalente:
-> "In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa m esprime il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale vB"; infatti se poniamo la velocità iniziale vA=0 allora il lavoro L è proprio uguale all'energia cinetica del corpo: L=(1/2)mvB2.
Nota: per la definizione di lavoro e di forze non conservative vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Si osservi infine, come dovrebbe risultare chiaro da questa breve esposizione, che in generale la formalizzazione matematica di una determinata grandezza fisica permette di specificare meglio, rispetto ad una semplice definizione, il suo significato fisico (in questo caso la relazione tra lavoro ed energia cinetica) dato che possiamo fare riferimento ad una ben definita equazione fisico-matematica.

(*) Ricordiamo che con prodotto scalare Fdr si intende la proiezione ortogonale di F su dr (cioè Fcosθ) moltiplicata per dr: Fdr=Fdrcosθ (θ è l'angolo tra F e dr).

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